\documentclass[mathserif,t]{beamer}
%\documentclass[mathserif, handout,t]{beamer}

\input{/home/janine/Dropbox/Travail_S/Divers/Preambule/Preambule_Cours}

\def\mySample{100}
\Teachtrue

\begin{document}

\titreCours{4}{Calcul Différentiel}{}{
H. Bovet, "Analyse", Polymaths, 2002\\
J-Ph Javet, "Introduction à la notion de dérivée", Polycopié du Gymnase de Morges\\
J-Ph Javet, "Dérivée d'une fonction et règles de calculs", Polycopié du Gymnase de Morges\\
Notes du cours donné par M. Gelsomino (2005-2008), Gymnase de Burier 
}

\begin{frame}{1. La notion de dérivée}

\underline{Exemple 1.1} Tracer le plus précisément possible les tangentes à la courbe aux points indiqués. Evaluer la pente de la tangente en ces points.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
\draw[gray, very thin] (-7.9,-7.9) grid (7.9,7.9);
\draw[-latex, thick] (-8,0) -- (8,0) node[right]{$x$};
\draw[-latex, thick] (0,-8) -- (0,8) node[above]{$y$};
\draw (1, -0.1) -- (1, 0.1) node[below]{1};
\draw (0.1,1) -- (-0.1,1) node[left]{1};
\clip (-8,-8) rectangle (8,8);
\small

\draw[dblue, very thick, samples=\mySample, domain=-8:8] plot(\x,{0.5*\x*(\x -3)*(\x+2)});
\fill[dblue] (3,0) circle (5pt) node[above right] {$(3,0)$};
\fill[dblue] (1.8,-4.1) circle (5pt) node[below] {$(1.8,4.1)$};
\fill[dblue] (1,-3) circle (5pt) node[above left] {$(1,-3)$};
\fill[dblue] (-1.1,2.1) circle (5pt) node[above] {$(-1.1,2.1)$};
\fill[dblue] (-2,0) circle (5pt) node[above left] {$(-2,0)$};


\hunc{2}{\draw[dred, samples=2, domain=-8:8] plot(\x,{7.5*(\x)-22.5}); 
\hunc{3}{\node[dred, right] at (3,-0.5) {$m=7.5$};}}
\hunc{4}{\draw[dred] (-8,-4.1) -- (8,-4.1);
\hunc{5}{\node[dred,below] at (1.8,-5.1) {$m=0$};}}
\hunc{6}{\draw[dred, samples=2, domain=-8:8] plot(\x,{-2.5*(\x)-0.5});
\hunc{7}{\node[dred, left] at (1,-3.5) {$m=-2.5$};}}
\hunc{8}{\draw[dred] (-8,2.05) -- (8,2.05);
\hunc{9}{\node[dred,above] at (-1.1,3.05) {$m=0$};}}
\hunc{10}{\draw[dred, samples=2, domain=-8:8] plot(\x,{5*(\x)+10});
\hunc{11}{\node[dred, left] at (-2,-0.5) {$m=5$};}}

\end{tikzpicture}
\end{center}

\end{frame}

\begin{frame}

On peut schématiser la fonction précédente comme suit

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\tkzTabInit{$x$/1,$m$/1, $f(x)$/3}{$-\infty$, $-1.1$,$1.8$, $+\infty$}
\hunc{2}{\tkzTabLine{, + , 0 , -, 0, +,};}
\hunc{3}{\tkzTabVar{-/$-\infty$,+/$2.1$,-/$-4.1$,+/$+\infty$}}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\uncover<4->{
\underline{Définition 1.1} La \bl{dérivée d'une fonction} en un point correspond à la \ro{pente de la tangente} à la fonction en ce point.}

\vfill 
\uncover<5->{
La dérivée nous sera utile pour 
\begin{enumerate}
\item<6-> \textbf{Tangente}: Calculer l'équation de la tangente d'une courbe en un point
\item<7-> \textbf{Croissance de la droite}: Savoir si la courbe "monte" ($m>0$) ou "descend" ($m<0$)
\item<8-> \textbf{Optimisation}: Trouver les minima et les maxima de la fonction ($m=0$)
\end{enumerate}}

\end{frame}

\begin{frame}{2. Calcul de la dérivée}

\underline{Exemple 2.1} Calculer les pentes des droites suivantes:
\begin{minipage}[t]{0.32\textwidth}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\draw[gray, very thin] (-1.9,-0.9) grid (3.9,4.9);
\draw[-latex, thick] (-2,0) -- (4,0) node[right]{$x$};
\draw[dgreen, thick] (-2,0) -- (4,0);
\draw[-latex, thick] (0,-1) -- (0,5) node[above]{$y$};
\draw (1, -0.1) -- (1, 0.1) node[below]{1};
\draw (0.1,1) -- (-0.1,1) node[left]{1};
\clip (-2,-1) rectangle (4,5);
\small
\draw[dblue, thick, samples=\mySample, domain=-4:4] plot(\x,{(\x)^2});
\fill[dred] (0,0) circle (5pt) node[below left]{(0,0)};
\fill[dred] (2,4) circle (5pt) node[above left]{(2,4)};
\draw[dred, thick, samples=2, domain=-4:4] plot(\x, {2*\x});

\hunc{2}{\draw[dred, thick] (2,4) -- node[right]{4} (2,0) -- node[above]{2} (0,0);}
\end{tikzpicture}

\hunc{3}{$$m=\dfrac{4}{2}\hunc{4}{=2}$$}

\end{minipage} \uncover<4->{\begin{minipage}[t]{0.32\textwidth}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\draw[gray, very thin] (-1.9,-0.9) grid (3.9,4.9);
\draw[-latex, thick] (-2,0) -- (4,0) node[right]{$x$};
\draw[dgreen, thick] (-2,0) -- (4,0);
\draw[-latex, thick] (0,-1) -- (0,5) node[above]{$y$};
\draw (1, -0.1) -- (1, 0.1) node[below]{1};
\draw (0.1,1) -- (-0.1,1) node[left]{1};
\clip (-2,-1) rectangle (4,5);
\small
\draw[dblue, thick, samples=\mySample, domain=-4:4] plot(\x,{(\x)^2});
\fill[dred] (0,0) circle (5pt) node[below left]{(0,0)};
\fill[dred] (1,1) circle (5pt) node[right]{(1,1)};
\draw[dred, thick, samples=2, domain=-4:4] plot(\x, {\x});

\hunc{5}{\draw[dred, thick] (1,1) -- node[right]{1} (1,0) -- node[below]{1} (0,0);}
\end{tikzpicture}

\hunc{6}{$$m=\dfrac{1}{1}\hunc{4}{=1}$$}

\end{minipage}} \uncover<7->{\begin{minipage}[t]{0.32\textwidth}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\draw[gray, very thin] (-1.9,-0.9) grid (3.9,4.9);
\draw[-latex, thick] (-2,0) -- (4,0) node[right]{$x$};
\draw[dgreen, thick] (-2,0) -- (4,0);
\draw[-latex, thick] (0,-1) -- (0,5) node[above]{$y$};
\draw (1, -0.1) -- (1, 0.1) node[below]{1};
\draw (0.1,1) -- (-0.1,1) node[left]{1};
\clip (-2,-1) rectangle (4,5);
\small
\draw[dblue, thick, samples=\mySample, domain=-2:4] plot(\x,{(\x)^2});
\fill[dred] (0,0) circle (5pt) node[below left]{(0,0)};
\fill[dred] (0.5,0.25) circle (5pt) node[right]{(0.5,0.25)};
\draw[dred, thick, samples=2, domain=-2:4] plot(\x, {0.5*\x});

\hunc{8}{\draw[dred, thick] (0.5,0.25) -- (0.5,0) -- (0,0);}
\end{tikzpicture}

\vspace{-0.4cm}
\hunc{9}{$$m=\dfrac{0.25}{0.5}\hunc{4}{=0.5}$$}

\end{minipage}}
\hunc{10}{On sait que la pente de la tangente en (0;0) est $\ve{m=0}$.\hunc{11}{ On remarque que plus on prend un point proche de (0,0), plus la droite reliant les deux points a une pente proche de celle de la tangente.}}

\end{frame}

\begin{frame}
\underline{Exemple 2.2} Calculer la pente de la droite passant par les deux points donnés.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
\scriptsize
\draw[gray, very thin] (-0.9,-0.9) grid[step=0.5] (9.9,7.9);
\draw[-latex, thick] (-1,0) -- (10,0) node[right]{$x$};
\draw[-latex, thick] (0,-1) -- (0,8) node[above]{$y$};
\draw[dgreen] (1, -0.1) -- (1, 0.1) node[below]{$a$};
\draw[dgreen] (6, -0.1) -- (6, 0.1) node[below]{$x$};
\draw[dgreen] (0.1,2) -- (-0.1,2) node[left]{$f(a)$};
\draw[dgreen] (0.1,4.5) -- (-0.1,4.5) node[left]{$f(x)$};
\clip (-1,-1) rectangle (10,8);
\draw[dblue, thick, samples=\mySample, domain=-1:10] plot(\x,{0.5*(\x-3)^2});
\fill[dgreen] (1,2) circle (3pt) node[below right] {$(a;f(a))$};
\draw[dgreen, dashed] (1,0) -- (1,2) -- (0,2);
\fill[dgreen] (6,4.5) circle (3pt) node[above left] {$(x;f(x))$};
\draw[dgreen, dashed] (6,0) -- (6,4.5) -- (0,4.5);
\hunc{2}{\draw[dgreen, thick, samples=2, domain=-1:10] plot(\x,{0.5*\x+1.5});}
\hunc{3}{\draw[dgreen, thick] (6,4.5) -- node[right]{\only<4->{$f(x)-f(a)$}} (6,2) 
-- node[above]{\only<5->{$x-a$}}(1,2);}
\hunc{8}{\draw[dred, thick, samples=2, domain=-1:10] plot(\x, {-2*\x+4});}
\hunc{9}{\fill[dorange] (3,0) circle (3pt);}
\hunc{10}{\draw[dorange, thick, samples=2, domain=-1:10] plot(\x,{-\x+3});}
\hunc{11}{\fill[dorange] (2,0.5) circle (3pt);}
\hunc{12}{\draw[dorange, thick, samples=2, domain=-1:10] plot(\x,{-3/2*\x+7/2});}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\hunc{6}{La pente de la droite vaut $m=\hunc{7}{\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}}$.}\hunc{13}{ Plus $x$ s'approche de $a$, plus la pente de la droite est proche de la tangente.}

\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Définition 2.1} La dérivée d'une fonction $f(x)$ en un point a, notée $f'(a)$, est définie comme la limite suivante:
$$\boxed{f'(a) \uncover<2->{= \lim_{x\rightarrow a} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}}}$$
\uncover<3->{Par extension, on définit \bl{la dérivée d'une fonction} comme sa dérivée en chaque point et on la note \bl{$f'(x)$}.}
  
\vfill

\uncover<4->{
\underline{Exemple 2.3} Calculer la dérivée de la fonction $f(x)=x^2$ aux points donnés. 
\begin{lequa}
1. & a=2 \Rightarrow f'(2) &=& 
\hunc{5}{\Lim{x\rightarrow 2} \dfrac{x^2 -4}{x-2}}
\hunc{6}{="\dfrac{0}{0}"}
\hunc{7}{= \Lim{x\rightarrow 2} \dfrac{(x -2)(x+2)}{x-2}}\\[0.2cm]
& \hunc{8}{&=& \Lim{x\rightarrow 2} (x+ 2) }
\hunc{9}{= 4 }\\[0.2cm]
\uncover<10->{2. & a=3 \Rightarrow f'(3) &=& 
\hunc{11}{\Lim{x\rightarrow 3} \dfrac{x^2 -9}{x-3}}
\hunc{12}{="\dfrac{0}{0}"}
\hunc{13}{= \Lim{x\rightarrow 3} \dfrac{(x -3)(x+3)}{x-3}}\\[0.2cm]
& \hunc{14}{&=& \Lim{x\rightarrow 3} x+3 }
\hunc{15}{= 6}}\\
\uncover<16->{3. & a = A \Rightarrow f'(A) &=& 
\hunc{17}{\Lim{x\rightarrow A} \dfrac{x^2 -A^2}{x-A}}
\hunc{18}{="\dfrac{0}{0}"}
\hunc{19}{= \Lim{x\rightarrow A} \dfrac{(x -A)(x+A)}{x-A}}\\[0.2cm]
& \hunc{20}{&=& \Lim{x\rightarrow A} A+A }
\hunc{21}{= 2A}}
\end{lequa}
}

\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exercice 2.1} Calculer la dérivées des fonctions suivantes aux points donnés. 
\begin{enumerate}
\item $f(x) = 4x +5$ en $a=5$
\hunc{2}{
\begin{eqnarray*}
f'(5) &=& \Lim{x\rightarrow 5} 
= \dfrac{f(x) - f(5)}{x-5}  
\hunc{3}{= \Lim{x\rightarrow 5}  \dfrac{(4x + 5) - (4\cdot 5 + 5)}{x-5} } \\
\hunc{4}{&=& \Lim{x\rightarrow 5}  \dfrac{4x + 5 - 25}{x-5} } 
\hunc{5}{= \Lim{x\rightarrow 5}  \dfrac{4x - 20}{x-5} } 
\hunc{6}{= \Lim{x\rightarrow 5}  \dfrac{4(x - 5)}{x-5} } 
\hunc{7}{= 4 }
\end{eqnarray*}
}
\item<8-> $f(x) = 2x^3$ en $a=-1$
\hunc{9}{
\begin{eqnarray*}
f'(-1) &=& \Lim{x\rightarrow -1} 
= \dfrac{f(x) - f(-1)}{x-(-1)}  
\hunc{10}{= \Lim{x\rightarrow -1}  \dfrac{2x^3 - 2(-1)^3}{x+1} } \\
\hunc{11}{&=& \Lim{x\rightarrow -1}  \dfrac{2x^3 + 2}{x+1} } 
\hunc{12}{= \Lim{x\rightarrow -1}  \dfrac{2(x^3 + 1)}{x+1} } \\
\hunc{13}{&=& \Lim{x\rightarrow -1}  \dfrac{2(x + 1)(x^2 -x +1)}{x+1} } 
\hunc{14}{= \Lim{x\rightarrow -1} 2(x^2 -x +1) } \\
\hunc{15}{&=& \Lim{x\rightarrow -1} 2( (-1)^2 - (-1) +1) } 
\hunc{16}{= \Lim{x\rightarrow -1} 2\cdot 3 } 
\hunc{17}{= 6 }
\end{eqnarray*}
}
\end{enumerate}

\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exercice 2.2} Calculer l'équation de la tangente à la courbe $f(x)=x^2$ au point d'abscisse $x=2$.\\[0.2cm] 

\hunc{2}{
On commence par calculer les coordonnées du point: $x=2 \hunc{3}{\Rightarrow f(2)=\hunc{4}{2^2=4}}$ 

\hunc{6}{On calcule 

$f'(2) 
\hunc{7}{= \Lim{x \rightarrow 2} \dfrac{x^2 - 2^2}{x - 2} }
\hunc{8}{= \Lim{x \rightarrow 2} \dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} }
\hunc{9}{= \Lim{x \rightarrow 2} (x + 2) }
\hunc{10}{= 4} 
$}}

\vspace{0.2cm}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{tikzpicture}[scale=0.4]
\scriptsize
\draw[gray, very thin] (-3.9,-0.9) grid (3.9,9.9);
\draw[-latex, thick] (-4,0) -- (4,0) node[right]{$x$};
\draw[-latex, thick] (0,-1) -- (0,10) node[above]{$y$};
\draw (1, -0.1) -- (1, 0.1) node[below]{1};
\draw (2, -0.1) -- (2, 0.1) node[below]{2};
\draw[dred, dashed] (2,0) -- (2,4);
\draw (0.1,1) -- (-0.1,1) node[left]{1};

\clip (-4,-1) rectangle (4,10);
\draw[dblue, thick, samples=\mySample, domain=-4:4] plot(\x,{(\x)^2});
\hunc{18}{\draw[dred, thick, samples=2, domain=-4:4] plot(\x,{4*(\x)-4});}
\fill[dred] (2,4) circle (3pt);
\hunc{5}{\fill[dred] (2,4) circle (3pt) node[above left]{(2;4)};}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}\begin{minipage}{0.58\textwidth}
\hunc{11}{On sait donc que $m=4$ et donc $$y = 4x + h$$}\hunc{12}{Le point (2;4) fait partie de la droite, on remplace donc:
\vspace{-0.1cm}
\begin{equa}
4 &=& 4 \cdot 2 + h & \hunc{13}{\mbox{ CN} }\\
\hunc{14}{\LRq 4 &=& 8 + h & \hunc{15}{-8}}\\
\hunc{16}{\LRq -4 &=& h \uzero}\\
\end{equa}
\hunc{17}{On a donc $y= 4x -4$.}}
\end{minipage}



\end{frame}

\begin{frame}{3. Règles de calcul} 

On a vu que 
\begin{enumerate}
\item $(x^{\ro{2}})' = \ro{2} x \hunc{2}{= \ro{2} x^{\ro{2}-1}}$
\item<3-> $(x^{\ro{3}})' = \ro{3} x^2 \hunc{4}{= \ro{3}x^{\ro{3}-1}}$
\end{enumerate}
\uncover<5->{On peut généraliser cette règle à n'importe quelle puissance.  }

\vfill
\uncover<6->{\underline{Règle 3.1} $\boxed{(kx^n)' = nkx^{n-1}}$ avec $k\in\mathbb{R}$, $n\in\mathbb{Q}$.}

\vfill
\uncover<7->{\underline{Rappel 3.1} On a que $x^{\ro{-}n} = \ro{\dfrac{1}{\textcolor{black}{x^n}}}$ 
et $x^{ \ro{\frac{1}{n}}}= \ro{\sqrt[n]{\textcolor{black}{x}}}$}

\vfill
\uncover<8->{\underline{Exemple 3.1} Déterminer les dérivées des fonctions suivantes\\[0.2cm]
\begin{enumerate}
\item $(5x^8)' 
\hunc{9}{= 5\cdot(x^{\ro{8}})'}
\hunc{10}{= 5\cdot \ro{8} \cdot x^{\ro{8}-1}}
\hunc{11}{= 40x^{7}}
$
\item<12-> $\left(\dfrac{6}{x^3}\right)'
\hunc{13}{= 6\cdot \left(\dfrac{1}{x^3}\right)'}
\hunc{14}{= 6\cdot (x^{\ro{-3}})'}
\hunc{15}{= 6\cdot (\ro{-3}) \cdot x^{\ro{-3}-1}}
%\hunc{16}{= -18x^{-4}}
\hunc{17}{= -\dfrac{18}{x^{4}}}
$
\item<18-> $(2\sqrt[3]{x})'
\hunc{19}{= 2 \cdot (\sqrt[3]{x})'}
\hunc{20}{= 2 \cdot (x^{\ro{\frac{1}{3}}})'}
\hunc{21}{= 2 \cdot \ro{\dfrac{1}{3}} \cdot x^{\ro{\frac{1}{3}}-1}}
\hunc{22}{= \dfrac{2}{3}x^{-\frac{2}{3}}}
\hunc{23}{= \dfrac{2}{3\sqrt[3]{x^2}}}
$
\end{enumerate}}

\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Exercice 3.1} Calculer les dérivées suivantes
%\only<beamer>{\small}
$$
\begin{array}{c | c | l}
f(x) & f'(x) & \mbox{ Détail du calcul}\\
\hline
3 & \hunc{5}{0} & \hunc{2}{(3)' = (3x^0)'}\hunc{3}{ = 3 \cdot 0 \cdot x^{0-1}}\hunc{4}{ = 0} \rule{0pt}{2.6ex}\\[0.2cm]
k  \in\mathbb{R} & \hunc{9}{0} & \hunc{6}{(k)' = (kx^0)' }\hunc{7}{= k \cdot 0 \cdot x^{0-1}}\hunc{8}{ = 0}\\[0.2cm]
x & \hunc{13}{1} & \hunc{10}{(x)' = (x^{1})'}\hunc{11}{ = 1\cdot x^{1-1}}\hunc{12}{= 1 \cdot x^{0} = 1}\\[0.2cm]
3x &  \hunc{16}{3} & \hunc{14}{(3x)' = 3 \cdot (x^{1})'}\hunc{15}{ = 3 \cdot 1 = 3}\\[0.2cm]
x^2 & \hunc{18}{2x} & \hunc{17}{(x^2)' =2x^{2-1} = 2x}\\[0.2cm]
x^3 & \hunc{20}{3x^2} & \hunc{19}{(x^3)' =3x^{3-1} = 3x^2}\\[0.2cm]
\dfrac{1}{x} & \hunc{24}{-\dfrac{1}{x^2}} & 
\hunc{21}{\left(\dfrac{1}{x}\right)' = (x^{-1})'}\hunc{22}{ = (-1)\cdot x^{-1-1}}\hunc{23}{ = -\dfrac{1}{x^2}}\\[0.2cm]
\sqrt{x} & \hunc{29}{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}} & \hunc{25}{(\sqrt{x})'= \left(x^{\frac{1}{2}}\right)'}\hunc{26}{ = \dfrac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}}\hunc{27}{ = \dfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}}\hunc{28}{ = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} }\\[0.2cm]
\sqrt[3]{x} & \hunc{34}{\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}} & \hunc{30}{(\sqrt[3]{x})'= \left(x^{\frac{1}{3}}\right)' }\hunc{31}{= \dfrac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1}}\hunc{32}{ = \dfrac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}}\hunc{33}{ = \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}} \\[0.2cm]
\end{array}$$

\end{frame}

\begin{frame}{4. Propriétés de la dérivée}

Soit $f(x)$ et $g(x)$ deux fonctions dérivables. \\[0.4cm]

\underline{Propriété 4.1} $\boxed{ (f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x) }$ \\[0.4cm]

\uncover<2->{\underline{Exemple 4.1} Calculer $[4x^9 - 5x^4]'$ 
\hunc{2}{\begin{eqnarray*}
(4x^9 - 5x^4)'\hunc{3}{=(4x^9)' - (5x^4)'}\hunc{4}{=36x^8 - 20x^3}\end{eqnarray*}}}

\uncover<5->{\underline{Propriété 4.2} $\boxed{ [(f(x))^{n}]' = n \cdot (f(x))^{n-1} \cdot f'(x)}$ } \\[0.4cm]

\uncover<6->{\underline{Exemple 4.2} Calculer $[(3x^7 + 2)^3]'$
\hunc{6}{\begin{eqnarray*}
[(3x^7 + 2)^3]'
\hunc{7}{&=&3 \cdot (3x^7+2)^2 \cdot (3x^7+2)'}
\hunc{7}{=3 \cdot (3x^7+2)^2 \cdot (3 \cdot 7 \cdot x^6 + 0)}\\
\hunc{8}{&=& 63 \cdot (3x+2)^2 \cdot 21x^6}
\hunc{9}{=63x^6(3x+2)^2}\end{eqnarray*}}}


\end{frame}

\begin{frame}
\underline{Propriété 4.3} $\boxed{ [f(x)\cdot g(x)]' = f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)} $\\[0.4cm]

\uncover<2->{\underline{Exemple 4.3} Calculer $[(x^2+1)\cdot (2x+3)]'$ 
\hunc{2}{
\small
\begin{eqnarray*}
[(x^2+1)\cdot (2x+3)]' &=&
\hunc{3}{(x^2+1)'\cdot (2x+3) + (x^2+1)\cdot(2x+3)'}\\
\hunc{4}{&=& 2x\cdot (2x+3) + (x^2+1)\cdot 2}\\
\hunc{5}{&=& 4x^2 + 6x + 2x^2+2}
\hunc{6}{= 6x^2 + 6x +2}
\end{eqnarray*}}}

\uncover<7->{
\underline{Propriété 4.4} $\boxed{ \left[\dfrac{f(x)}{g(x)}\right]' 
= \dfrac{f'(x)\cdot g(x) - f(x)\cdot g'(x)}{(g(x))^2}} $\\[0.4cm]

\uncover<8->{\underline{Exemple 4.4} Calculer $\left[ \dfrac{2x-3}{x-5}\right]'$ 
\hunc{8}{
\small
\begin{eqnarray*}
\left[ \dfrac{2x-3}{x-5}\right]' &=&
\hunc{9}{\dfrac{(2x-3)'\cdot (x-5) - (2x-3)\cdot(x-5)'}{(x-5)^2}}\\
\hunc{10}{&=&\dfrac{2\cdot (x-5) - (2x-3)\cdot 1}{(x-5)^2}}
\hunc{11}{=\dfrac{2x-10 - 2x+3}{(x-5)^2}}\\
\hunc{12}{&=&-\dfrac{7}{(x-5)^2}}
\end{eqnarray*}}}

}

\end{frame}

\begin{frame}

\underline{Définition 4.1} On appelle la dérivée de la dérivée d'une fonction sa \bl{dérivée seconde} et on la note $\bl{f''(x)}$. 

\vfill
\uncover<2->{
\underline{Exemple 4.5} Calculer la dérivée seconde de la fonction $f(x) = 15x^7 -3x^6 + 10x^4 -3x^2 + 5x + 2$
}

\hunc{3}{
\begin{eqnarray*}
f'(x) &=& [15x^7 -3x^6 + 10x^4 -3x^2 + 5x + 2]' \\
\hunc{4}{&=& 105x^6 -18x^5 + 40x^3 - 6x + 5 \\}
\hunc{5}{f''(x) &=& [f'(x)]' = [105x^6 -18x^5 + 40x^3 - 6x + 5]'\\
\hunc{6}{&=& 630x^5 - 360x^4 + 120x^2 -6 }}
\end{eqnarray*}}

\end{frame}

\begin{frame}{5. Tangente à une courbe en un point donné}

\underline{Exemple 5.1} Soit $f(x)= x^2 -\sqrt{x} - 10$. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse $x=1$.

\hunc{2}{
\vfill
On cherche une équation du type $y=mx+h$. On commence par calculer la deuxième coordonnée du point: 
$$f(1) \hunc{3}{= 1^2 - \sqrt{1} -10} \hunc{4}{= 1 - 1 -10} \hunc{5}{= -10}$$

\hunc{6}{Le point a donc pour coordonnées $(1;-10)$}

\vfill
\hunc{7}{La dérivée de la fonction en ce point nous donnera la pente de la tangente.}\hunc{8}{ On a donc 
$$f'(x) = [x^2 -\sqrt{x} - 10]' 
\hunc{9}{= 2x - \frac{1}{2\sqrt{x}}}
\hunc{10}{= 2x - \frac{\sqrt{x}}{2x}}
\hunc{11}{= \frac{4x^2 - \sqrt{x}}{2x}}
$$}

\vfill
\hunc{12}{On évalue la dérivée en $x=1$ pour trouver la pente de la tangente en ce point: $f'(1)\hunc{13}{= \dfrac{4-1}{2}} \hunc{14}{= \dfrac{3}{2}}$. }
}

\end{frame}

\begin{frame}

\hunc{1}{On a donc $m= \dfrac{3}{2}$ et donc $y=\dfrac{3}{2}x + h$.}\hunc{2}{ On sait que la droite passe par le point $(1;-10)$, on peut donc remplacer dans l'équation:
\begin{equa}
-10 &=& \dfrac{3}{2}\cdot 1 + h & \hunc{3}{-\dfrac{3}{2}}\\[0.2cm]
\hunc{4}{\LRq -\dfrac{20}{2} - \dfrac{3}{2} &=&  h & \hunc{5}{\mbox{CN}}}\\[0.2cm]
\hunc{6}{\LRq -\dfrac{23}{2} &=&  h } \uzero\\
\end{equa} 

\hunc{7}{L'équation de la tangente est donc donnée par $y = \dfrac{3}{2}x -\dfrac{23}{2}$. }



}
\end{frame}

\begin{frame}

Esquisser la tangente trouvée sur le graphique ci-dessous. \\

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\scriptsize
%\draw[gray, very thin] (-3.9,-11.9) grid (9.9,3.9);
\draw[gray, dashed] (-3.9,-11.9) grid (9.9,3.9);
\draw[-latex, thick] (-4,0) -- (10,0) node[right]{$x$};
\draw[-latex, thick] (0,-12) -- (0,4) node[above]{$y$};
\draw (1, -0.1) -- (1, 0.1) node[below]{1};
\draw (0.1,1) -- (-0.1,1) node[left]{1};

\clip (-4,-12) rectangle (10,4);

\draw[dblue, thick, samples=\mySample, domain=0:10] plot(\x,{(\x)^2-sqrt(\x)-10});
\node[left, dblue, fill=white] at (3,2) {$f(x)=x^2-\sqrt{x}-10$};
\hunc{2}{\fill[dblue] (1,-10) circle (3pt) node[right]{(1;-10)};}
\hunc{3}{\fill[dgreen] (0,-11.5) circle (3pt);}
\hunc{4}{\draw[dgreen, thick, samples=2, domain=-2:10] plot(\x,{1.5*(\x)-11.5}); 
\node[dgreen, right, fill=white] at (4,-6.5) {$y=\dfrac{3}{2}x -\dfrac{23}{2}$};}

\end{tikzpicture}
\end{center}

\end{frame}

\end{document}
